martes, 29 de junio de 2010

Llenando copas hasta la mitad.

Para muchas personas está claro, si queremos llenar la mitad de capacidad de una copa debemos llenar la mitad de contenido, y si en vez de la mitad queremos llenar la tercera o cuarta parte lo mismo deberemos llenar la tercera o cuarta parte de contenido. Es tan simple como una regla de tres pensarán.

Pero nada más lejos de la realidad, el problema de llenar una copa hasta la mitad no es tan fácil como parece en un principio. Esto tan sólo funciona si la copa es un tubo cilíndrico, en ese caso la altura a la que debemos llenar la copa para tener la mitad de volumen es exactamente la mitad del total.
Pero si la copa tiene forma de cono el problema no es tan fácil porque la altura depende de las raíces cúbicas (madre mía, que pintan esas raíces aquí pensarían muchos), y si llenamos la copa hasta la mitad de altura tan sólo beberemos la octava parte de su volumen.

La explicación de esto viene de jugar con la semejanza de triángulos y con la fórmula del volumen del cono:
La fórmula que nos da el volumen de un cono de altura H y radio R es :
Usando la semejanza de triángulos tenemos que:

De donde el volumen del cono de una altura "h" queda usando la relación que se obtiene de la figura anterior: Y para que el volumen de este cono sea exactamente la mitad del inicial igualamos:
Y de aquí se deduce despejando r que:


Por tanto como conclusión de todo lo anterior se obtiene que para tener la copa medio llena debemos llenarla aproximadamente un 80% de la altura inicial. Igualmente si queremos llenar la copa un tercio de su volumen deberemos llenar hasta una altura del 70% y del 63% para la cuarta parte.
Mucho de lo aquí escrito está sacado del libro "Matemáticas de la vida misma" escrito por Fernando Corbalán.

lunes, 28 de junio de 2010

Rutas aéreas y Círculos máximos.

Cuando una esfera se corta por un plano que pasa por el centro, la sección producida es un círculo que se llama círculo máximo. La circunferencia correspondiente a este círculo se denomina circunferencia máxima.Si el plano no pasa por el centro de la esfera, la sección se llama círculo menor, y la circunferencia correspondiente, circunferencia menor.



Los círculos máximos y en particular el arco de círculo máximo (trozo de círculo máximo) tiene especial importancia porque señala la distancia más corta entre dos puntos de la esfera. Dado que la Tierra se puede considerar como una esfera, los aviones trazan sus rutas entre ciudades lejanas de la Tierra siguiendo los círculos máximos porque esto permite acortar el tiempo de vuelo y, por tanto, el gasto de combustible.

Si quieres saber el círculo máximo que trazará el avión que te lleve en tu viaje para este verano te recomiendo visitar la siguiente web "Great Circle Mapper"

No obstante, existen situaciones donde los aviones no siguen el arco que determina el círculo máximo por determinados factores:

  • La metereología, tanto para evitar mal tiempo como para aprovechar o evitar vientos favorables o adversos. Así mismo muchos rutas se trazan usando niveles de vuelo cada vez más altos, para aprovechar con esto la menor densidad del aire.
  • Otro factor es el poder alcanzar en un tiempo determinado un aeropuerto en el que el avión pueda aterrizar en caso de emergencia. A veces también situaciones como limitaciones por motivos políticos, espacios aéreos restringidos por uso militar, y, obviamente, razones comerciales para hacer escalas en determinadas ciudades influyen en el trazado de la ruta aérea.
  • Y por último decir que cuando se vuela sobre tierra, en especial en Europa, donde el espacio aéreo está bajo la responsabilidad de hasta 68 centros de control nacionales y locales y el número de vuelos diarios es elevadísimo las rutas aéreas se pueden ver enormemente modificadas.

domingo, 20 de junio de 2010

Superficies Regladas y Minimales.

Podríamos decir que la Geometría, y más generalmente, las Matemáticas, han estado presentes en la Arquitectura desde el momento en el que el hombre siente la necesidad de construir un hogar donde guarecerse de las inclemencias de la naturaleza, descansar o mantenerse alejado de sus enemigos, ya sea excavando en cuevas, construyendo chozas o montando tiendas...
Así comienza el artículo el magnífico artículo del Profesor Titular de Geometría y Topología del departamento de matemáticas de la universidad del País Vasco Raúl Ibáñez Torres titulado "el vientre del arquitecto"

El diseño y construcción de una obra arquitectónica es un complejo proceso en el que el arquitecto ha de beber de diferentes fuentes, entre ellas indudablemente se encuentran las Matemáticas. Los avances en ramas de las matemáticas como la Geometría y la Topología y la llegada de nuevos materiales más flexibles, más fáciles de manipular y menos pesados (hormigón, fibra de vidrio, nylon, terylene,…), así como la existencia de movimientos Arquitectónicos más abiertos (por ejemplo, la Arquitectura Orgánica) hace que la presencia de nuevas y sugerentes formas sea habitual en la Arquitectura del siglo XX.


Muchas de las impresionantes construcciones con la que la arquitectura nos sorprende son superficies regladas y minimales.

Superficies Regladas
Las superficies regladas son, como indica su nombre, superficies que contienen rectas, o mejor dicho, que se pueden generar mediante el movimiento de una recta que sigue un recorrido determinado. Por ejemplo, si una recta se mueve siguiendo una circunferencia situada en un plano perpendicular, genera la superficie de un cilindro, que es una superficie reglada.
Las superficies regladas tienen muchas ventajas desde el punto de vista de la construcción y por ello son usadas entre otras lugares en la construcción de barcos (para el diseño del casco) y edificios.
Pero las superficies regladas más interesantes son las alabeadas, es decir, las superficies que tienen doble curvatura, o dicho de otro modo, las superficies en las que un plano tangente
también es secante y la intersección entre el plano y la superficie es justamente la recta o las rectas generatrices de la misma superficie.
Con el uso de estas superficies regladas alabeadas (hiperboloides, paraboloides, helicoides y conoides), además de crear una arquitectura rica y una plástica característica y expresiva, gracias a su doble curvatura se consigue una eficacia estructural nada despreciable, ya
que precisamente la doble curvatura, a menudo inversa, proporciona
una elevada rigidez y una gran capacidad de transmisión de las acciones mecánicas hacia los bordes o los puntos de apoyo.

Muchos arquitectos son los que se han atrevido a utilizar las superficies regladas como Antonio Gaudí, el danés Jørn Utzon quien construyo la casa de ópera en Sidney, Bernard Laffaille, entre otros.

Superficies Minimales.
Una superficie en el espacio que en pequeñas piezas sigue la forma de una película de jabón es llamada una superficie minimal. El nombre es debido al hecho de que superficies minimales localmente minimizan el área. Éstas ocurren con frecuencia en la naturaleza, por ejemplo en las celdas membranosas y pueden ser producidas no sólo como películas de jabón sino también más permanentemente como fascinantes membranas de pegamento.
El estudio de las superficies minimales tiene sus raíces, como no, en Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813), Meusnier (1754-1793) y otros y, constituye un área de investigación en matemáticas activa actualmente.
Las helicoidales son las únicas superficies en el espacio tridimensional que son al mismo tiempo minimales y regladas.

Las superficies minimales satisfacen la desinteresada demanda de eficiencia de la naturaleza y esto las hace extra fuertes y estables. Ya que también son estéticamente agradables, captan el interés de los arquitectos e ingenieros, como se puesto de manifiesto más que de sobra en los trabajos del famoso arquitecto Alemán Frei Otto

Olimpiastadium (Munich) por Frei Otto

Recomiendo visitar la web de emuseo

miércoles, 16 de junio de 2010

Fotografía Matemática en Córdoba.

Córdoba es una ciudad preciosa. Dá gusto perderse por sus calles llenas de geranios y disfrutar de sus maravillosos legados arquitectónicos y culturales que posee, y en los que es fácil encontrar muchas matemáticas. Como en otras ocasiones sobran las palabras.

Te espero en el infinito

Paralelas y perpendiculares

Recubrimiento del plano

Qué bella es la geometría

Llenos de geometría

El famoso arco califás cordobés

Simetría

lunes, 14 de junio de 2010

Florence Nigthingale

Nació en Florencia, Italia, el 12 de mayo de 1820; murió en Londres, Inglaterra, el 13 de agosto de 1910.

A Florence Nigthingale se la conoce como la madre de la enfermería. Su gran contribución en el ámbito de las matemáticas fue aplicar la estadística y utilizar gráficos para explicar que las tasas de mortandad en la guerra podían reducirse si se tomaban las suficientes medidas higiénicas.

Nigthingale fue una innovadora en la recolección, tabulación, interpretación y presentación gráfica de las estadísticas descriptivas (a ella se deben los gráficos de área polar, de gran uso en medicina). Mostró como la estadística proporciona un marco de organización para controlar y aprender, y puede llevar a que mejoren las prácticas quirúrgicas y médicas. A ella también se le debe el desarrollo de una Fórmula Modelo de Estadística Hospitalaria para que los hospitales recolectaran y generaran datos y estadísticas consistentes.

Nightingale ayudó a promover lo que era entonces una idea revolucionaria (y religiosa para ella), que los fenómenos sociales podían ser objetivamente medidos y expuestos al análisis matemático. Su trabajo con estadística médica fue tan impresionante que fue elegida como miembro de la Sociedad Estadística de Inglaterra.

Todo esto condujo finalmente a que gracias a Nigthingale, las autoridades militares, el parlamento y la propia Reina Victoria llevaran a cabo la tan necesaria reforma hospitalaria.

Puedes encontrar más información sobre esta increible mujer haciendo clic aquí

Curiosidades Matemáticas.

Indiscutiblemente las mates con humor entran mejor.

¿Por qué lo llaman pi?


Gracias Bolzano


Alineación al centro
Por favor, ¡que nunca lo vea en una examen!



Ten cuidado con el final

domingo, 13 de junio de 2010

Poincaré, Perelman y la vida.

Estamos acostumbrados a ver en televisión a futbolistas, actores, actrices y cantantes famosos rodeados de miles de cámaras y ganando miles de millones de euros, son guapos y bellas, viven rodeadas de fama y dinero, tienen todo lo que se supone que cualquier persona en su sano juicio desea. Pero... ¿Es esto la vida ideal? ¿Pasa esto con todas las profesiones? ¿Cómo serán las personas más inteligentes del planeta? ¿Tendrán un comportamiento excéntrico o se acercarán a la total normalidad?

La mayoría de los mejores científicos son personas casi anónimas para el público en general, personas tan sólo reconocidas por un colectivo muy selecto, sin embargo son las que descubren cosas importantes, las que hacen que nuestro mundo sea mejor. Y casi todos ellos llevan una vida de lo más normal y tranquila, y casi que estoy seguro que todos prefieren esta vida a la de esos chicos malabaristas del balón.
En particular, los buenos matemáticos tienen fama de ser personas raras, poco sociables, encerrados en sus pensamientos. Por lo que noticias como las que se aparecen en los medios de comunicación estos días del matemático Gregory Perelman no ayudan a mejorar éste San Benito, pero sin duda no dejan de una manera u otra de llamar nuestra atención.
Gregory Perelman, es considerado como una de las personas más inteligentes del mundo, es un genio, Perelman es un matemático ruso que se hizo famoso por demostrar uno de los llamados, 7 problemas del milenio, "El teorema de Poincaré".
Cuando se reconoció la veracidad del trabajo de Perelman, se le otorgó la Medalla Fields en el marco del XXV Congreso internacional de matemáticos (ICM2006) con sede en Madrid en agosto de 2006, la cual rechazó argumentando no querer ser una mascota en el mundo de las matemáticas, y estimando que no necesitaba otro reconocimiento sobre la validez de su trabajo. Pero no se quedó ahí la cosa ya que también rechazó el premio del millón de dólares diciendo que los jueces ni siquiera pueden entender la solución al problema, menos podrían ratificarlo.

Actualmente, Perelman lleva una vida muy distinta seguramente a la que cualquier famoso rico tendría, de hecho todo lo contrario, vive sólo con su madre, algunos casi dirían que rozando la pobreza. De hecho, se han visto unas imágenes dónde aparecía en el metro de San Petersburgo con un aspecto bastante desaliñado. ¿El por qué? Tan sólo él lo sabe, de sus declaraciones se deduce que para él, el único recocimiento importante es el suyo propio, el saberse capaz de haber demostrado uno de los problemas más famosos de la historia para él eso es suficiente, para qué la fama, para qué el dinero, para qué una vida radicalmente distinta a la que cualquier persona desearía.

Si quieres saber más sobre la conjetura de Poincaré te recomiendo:
  • La hoja volante (nº 10) Un sitio web diseñado por la UAM
  • Que veas el vídeo siguiente dónde se explica de forma clara la conjetura de Poincaré: