viernes, 30 de noviembre de 2007

Locos por los números.



Algunos aficionados a las matemáticas, y en especial a los números dedican parte de su tiempo a jugar con los números. Para los que no le gusten las mates seguramente pensarán, que locos están esta gente y como pierden el tiempo, pero la verdad es que si te gustan los retos y enfrentarte a ellos por muy difíciles que sean, los números son una buen campo.

El Reto: "Obtenga con las cifras del 0 al 9 y usando las operaciones matemáticas que desee el número 100"

Con la condición de que las cifras estén en orden ascendente del 0 al 9. Algunas soluciones son:
  • "1+2+3+4+5+6+7+(8x9)=100"
  • "1+2+34-5+67-8+9=100"
  • "12+3-4+5+67+8+9=100"
  • "123-4-5-6-7+8-9=100"
  • "123+4-5+67-89=100"
  • "123+45-67-8-9=100"
  • "123-45-67+89=100"

Con la condición de que las cifras estén en orden descendente del 9 al 0. Algunas soluciones son:

  • "98-76+54+3+21=100"
  • "9-8+76+54-32+1=100"
  • "98-7+6-5+4+3+2-1=100"
  • "9+8+76+5+4-3+2-1=100"
  • "98+7-6+5-4-3+2+1=100"

jueves, 29 de noviembre de 2007

Sputnik. El Comienzo de la Carrera Espacial.

En la historia de nuestra civilización hay momentos importantes que con el paso de los años la gente los sigue recordando como fundamentales para entender la historia de nuestra existencia. Uno de ellos ciertamente fue el envío del Sputnik por parte de la Unión Soviética al espacio exterior el 4 de Octubre de 1957.


Sputnik

Ahora se cumplen 50 años que el mundo recibió una de las noticias más impactantes del siglo XX: por primera vez en la historia se había logrado enviar un artefacto al espacio exterior.
El nombre del aparato enviado era Sputnik I que se convirtió en el primer satélite artificial creado por la humanidad. Lo increíble era que dicho satélite alcanzaba a duras penas el tamaño de un balón de baloncesto.
El impacto que tuvo el Sputnik sobre el desarrollo tecnológico en el resto del siglo XX es más que importante: se inició la carrera por el espacio que tendría su culminación a fines de la década de los 80. La entonces Unión Soviética había vencido a los Estados Unidos de Norteamérica en la lucha por colocar el primer satélite artificial, ahora la meta era ver quién colocaba al primer ser vivo en el espacio, que veremos en un próxima entrada al blog.

Pero la pregunta que nos podemos hacer es: ¿qué ganaban las potencias al poseer el liderazgo en la carrera espacial?. Para tener la respuesta debemos de entender cuál era el panorama mundial en la década de los 50. Poco después de finalizada la segunda guerra mundial existían dos potencias que luchaban por la hegemonía del mundo: Estados Unidos y la Unión Soviética. Dicha lucha implicaba aspectos políticos, económicos, culturales, deportivos y militares. Precisamente, después del desarrollo de las bombas atómicas el poseer un satélite artificial implicaba tener la posibilidad de lanzamientos de misiles aire - tierra desde satélites artificiales, el Sputnik I creó en los países occidentales el temor creciente de una guerra nuclear sin escalas desde el cielo.

Para saber más

lunes, 26 de noviembre de 2007

La Calculadora de antaño. "El Ábaco"

Hoy en día estamos acostumbrados a hacer todas nuestras operaciones con la calculadora o con potentes ordenadores, que permiten obtener el resultado de cualquier operación matemática al instante.Pero hace algún tiempo y en algunos lugares del mundo, no mucho tiempo atrás, se usaba un instrumento que permitía hacer las operaciones aritméticas básicas de una forma rápida y fácil. "El ábaco".

Ábaco Chino

El ábaco, es un instrumento de cálculo que utiliza unas bolitas que se deslizan a lo largo de una serie de alambres que representan las unidades, decenas, centenas, etc. El ábaco chino, el más utilizado, presenta 7 bolitas por alambre separadas en 2 bloques uno con 5 bolitas (de valor una unidad del orden considerado) y el otro con 2 (de valor de 5 unidades del orden considerado).
El ábaco es considerado como el más antiguo instrumento de cálculo conocido, y se le considera el precursor de la calculadora. Su origen está literalmente perdido en el tiempo. Algunos piensan que pudo aparecer por primera vez en la Antigua Babilonia, o en África. No obstante, hoy en día se tiende a pensar que el origen del ábaco se encuentra en China, donde el uso de este instrumento aún es notable al igual que en Japón. (En muchas escuelas de estos países aún se enseña el uso del ábaco, y son habituales las competiciones con ellos, o los retos con ellos).

De siempre el hombre ha necesitado contar cosas, y para ello ha ido ideando instrumentos para contarlas como nuestros dedos, las muescas en huesos, varas, etc... Pero cuando el número de cosas a contar aumenta, o tenemos que hacer operaciones con esas cosas, el coste mental de dichas cuentas también aumenta. "El ábaco vino a ayudar en estas actividades".
Utilizado por mercaderes en la Edad Media a través de toda Europa y el mundo árabe (era muy habitual su uso en las operaciones financieras entre ellos) , fue reemplazado de forma gradual por la aritmética basada en los números indoárabes (nuestro sistema de numeración decimal que usamos hoy en día). Esto hizo que ya se usara poco en Europa después del siglo XVIII, no obstante si se seguiría usando en Medio Oriente (China, Japón y Corea).
Debido a que gran parte de la aritmética se realizaba en el ábaco, el término ábaco ha pasado a ser sinónimo de aritmética; de hecho encontramos tal denominación en el libro "Liber Abaci" escrito por Leonardo de Pisa (Fibonacci) en 1202, que trata del uso de los números indo-arábigos, y que se convirtió en uno de los libros más importantes de la época y de la historia de las matemáticas.

sábado, 24 de noviembre de 2007

El Inagotable Leonhard Euler.

En este año 2007 que pronto termina se cumplen 300 años del nacimiento de uno de los matemáticos más geniales y completos de la historia. De hecho, algunos lo consideran como el más grande de todos los tiempos. Escribió sobre todas las ramas de las matemáticas y publicó más de 800 trabajos, la mayoría de ellos excelentes. Así que si alguna vez le preguntan qué matemático hizo tal cosa, probablemente la respuesta sea Euler.



Euler nació el 15 de Abril de 1707 en Basilea (Suiza), y aunque sus padres quisieron que de mayor fuese clérigo, sus habilidades matemáticas se impusieron a los deseos paternos.
Vivió la mayor parte de su vida entre San Petersburgo (Rusia) y Berlín (Alemania) donde desarrollaría su trabajo en la Academia de Ciencias de estas dos ciudades.
En 1738, perdió la vista de su ojo derecho, en un intenso trabajo sobre la realización de un mapa geográfico de Rusia, aunque algunas piensan que fue realizando un experimento observación el sol, pero no se detuvo por ello. Ni tampoco lo hizo al quedar completamente ciego a los 60 años. No sólo mantuvo, sino que incrementó el ritmo de publicaciones escribiendo un promedio de un artículo matemático por semana; de hecho, 300 de los anteriores trabajos los hizo dictándolos a sus hijos y algún colaborador.
Se dice que tenía una memoria excepcional. Era capaz de recordar pizarrones enteros y se cuenta que podía recitar en latín la Eneida completa. Tenía una capacidad de cálculo mental tremenda. Sin lápiz ni papel era capaz de decir los 100 primeros números primos, sus cuadrados, cubos y hasta sus sextas potencias.
Y a todo ello hay que añadir su carácter, pese a la desgracia de que quedarse ciego era un hombre sencillo, alegre, hogareño, le gustaban mucho los niños (tuvo nada más y nada menos que 13, aunque sólo llegaron a edad adulta 4).
UN CUADRADO PARA UN CABALLO Euler construyó un cuadrado mágico en el que cada fila horizontal da un total de 260; al detenerse a la mitad de cada uno suma 130. Y aún más intrigante es que un caballo de ajedrez, que empieza sus movimientos (líneas rojas) desde la casilla número 1, puede pasar por las 64 casillas en orden numérico.

Euler murió el 18 de Septiembre de 1783, a sus 76 años, mientras jugaba con sus nietos percibió un súbito malestar, que terminaría con él horas más tarde.

¿Conoces a Blackgle?


Blackgle en un intento de ayudar a prevenir el temido cambio climático ha sacado un versión de su popular buscador con el fondo en negro. El problema es que no dispone de todas las opciones habituales que podemos encontrar en el conocido buscador de fondo blanco, por lo que no ha tenido una gran acogida entre los usuarios. No obstante, en mi opinión, blackgle estéticamente queda atractivo, y quizás una mejor versión podría competir en igualdad de condiciones con su hermano google.
Decir también que el ahorro energético que se produce con el blackgle se nota sobre todo con las antiguas pantallas de ordenador, pero por desgracia con estas nuevas pantallas “estas delgaditas” y en los ordenadores portátiles es prácticamente inapreciable. No obstante, sólo el intento de hacer algo por nuestro querido planeta merece la pena ser aplaudido dado que son millones de personas las que utilizan google diariamente e iniciativas de este tipo siempre son necesarias

jueves, 22 de noviembre de 2007

Matemáticas y Cine III

La Habitación de Fermat
Pierre de Fermat ha pasado a la historia entre otras cosas por su teorema, "El teorema de Fermat". Éste ha tenido ocupado en su demostración a matemáticos de todos los tiempos hasta hace poco que el matemático inglés Andrew Wiles lo demostrara. La historia del teorema de Fermat, es bastante conocida y más, después del libro basado en ella "El Enigma de Fermat", que cuenta toda la apasionante y deleintante historia que es una de las bazas que utiliza esta película para atraer a los aficionados al cine y a las matemáticas.


Sipnosis

Cuatro matemáticos desconocidos entre sí son invitados por un misterioso anfitrión con el pretexto de resolver un gran enigma. La sala en que se encuentran resulta ser un cuarto menguante que les aplastará si no descubren a tiempo qué les une y por qué alguien quiere asesinarles.

Intérpretes: Santi Millán, Alejo Sauras, Lluís Homar, Elena Ballesteros, Federico Luppi
Director: Luis Piedrahita
País: España
Año: 2007

Nota: Es extraño ver a Alejo Sauras alejado de su papel en la serie los Serrano y en una peli de matemáticas

martes, 20 de noviembre de 2007

El Ajedrez para Ciegos

En estas fechas se está celebrando en Islantilla (Huelva) el campeonato de España por equipos de ajedrez para ciegos.


Para un aficionado como yo al ajedrez resulta atractivo seguir una buena partida entre dos buenos contrincantes, pero nunca había tenido la oportunidad de asistir a una partida entre personas ciegas o que presentan alguna deficiencia visual. Es impresionante verlos jugar a pesar de sus dificultades, te hace meditar en lo mezquinos que somos por quejarnos por todo y aflorar en ti un profundo sentimiento de admiración hacia ellos. ¡Ole por ellos y viva ese deporte llamado ajedrez!

¿Por qué es bueno el ajedrez?
El ajedrez según La UNESCO es una actividad muy beneficiosa en la formación de los jóvenes, por varios motivos:
  • Es un juego de base matemática. Favorece por tanto el aprendizaje lógico de todos los estudiantes.
  • Desarrolla capacidades cerebrales importantes, como la memoria, la inteligencia, la creatividad o la concentración.
  • Desarrolla el pensamiento crítico.
  • Ayuda a la toma de decisiones.



Pero para los ciegos en particular, el ajedrez es beneficioso porque:

  • Ayuda a su socialización: A través del ajedrez estas personas pueden relacionarse con otras (El ajedrez, por el número de países asociados a su Federación Internacional, es el tercer deporte más universal, tras el atletismo y el fútbol.)
  • Mejora su autoestima:Frente al tablero el niño ciego descubre la competición en igualdad de condiciones con los videntes, lo que le ayuda a desterrar la idea de la minusvalía.

Material de Juego del ajedrez para ciegos.

  1. Un tablero adaptado que tiene los cuadros negros ligeramente más altos que los blancos, para que cada casilla resulte perceptible al tacto.
  2. Un agujerito en el centro de cada uno de las 64 casillas. En él se insertan las piezas.
  3. Las piezas tienen -como prolongación de la base- un pequeño vástago por medio del cual las piezas se insertan a las casillas. Éste es el sistema ideal para que los jugadores ciegos puedan tocar las piezas sin derribarlas ni desplazarlas involuntariamente.
  4. Las piezas negras tienen -generalmente en lo más alto- una cabeza de clavo que las hace distinguibles, al tacto, de las blancas.
  5. El reloj de ajedrez es un artilugio con dos mecanismos que marchan alternativamente. Cuando un jugador mueve pieza, acciona un pulsador que detiene su tiempo y pone en marcha el del contrario. Así hasta el final de la partida.
    El reloj tradicional para ciegos es parecido, pero carece de cristal protector para que se puedan tocar las manecillas de la esfera. Sin embargo este sistema —poco preciso en el control de minutos y segundos y favorecedor de episodios de picaresca— está ya superado por los nuevos relojes digitales, que incorporan, además de la nueva tecnología, un sistema de voz sintética para que el jugador, mediante un auricular, acceda en cualquier momento de la partida al control de su tiempo y el de su rival.
  6. Para anotar las partidas las personas ciegas utilizan hasta 4 sistemas diferentes:
    a) su material habitual de escritura (pauta, papel braille y punzón);
    b) máquinas portátiles para escribir en braille;
    c) grabadoras, que suelen utilizarse conjuntamente con el ábaco. En la grabadora se dicta la jugada que se hace y con el ábaco se controla el número de jugadas realizadas en cada momento;
    d) Braille’n Speak (Braille Hablado) o similares. Una agenda electrónica con sintetizador de voz, donde los datos se introducen mediante teclado braille y se recuperan a través del sintetizador de voz.

Más en: Federación Española de ciegos
Nota del autor: ¿Para cuándo el ajedrez en los colegios e institutos como materia obligatoria?

domingo, 18 de noviembre de 2007

El test de Turing

La prueba o test de Turing es un procedimiento usado para determinar si una máquina es inteligente o no. Fue expuesta por Alan Turing en 1950 en un artículo (Computing machinery and intelligence) para la revista Mind, y sigue siendo hoy día una de las puntas de lanza de los defensores de la Inteligencia Artificial.

La prueba de Turing está fundamentada en la hipótesis positivista de que, si una máquina se comporta en todos los aspectos como inteligente, entonces debe ser inteligente. En si, la prueba se convierte en un reto para la máquina, un desafío en el que tiene demostrar su inteligencia.
Así la máquina debe hacerse pasar por humana en una conversación con una persona a través de mensajes de texto (al estilo de lo que conocemos por un chat). Al sujeto no se le avisa si está hablando con una máquina o una persona. Si el sujeto es incapaz de determinar si la otra parte de la comunicación es una persona humana o una máquina, entonces se considera que la máquina ha alcanzado un determinado nivel de madurez: es inteligente.
Actualmente no se ha conseguido generar ninguna máquina lo suficientemente inteligente para pasar con éxito el test de Turing. Sin embargo, los robots (lejos de ser inteligentes) forman una parte muy importante del proceso industrial, llevando a cabo procesos repetitivos y mecánicos. Sin ellos, la vida sería mucho más complicada. Existen robots que ayudan en la medicina, en cuestiones científicas, astronómicas, en situaciones peligrosas para las personas, etc…

El Maldito Spam


Originalmente 'Spam' se llamó al jamón con especias (Spiced Ham) producido por Hormel en 1926 como el primer producto de carne enlatada que no requería refrigeración. Esta característica hacía que estuviera en todas partes, incluyendo en los ejércitos americanos y rusos de la segunda guerra mundial. Tal vez por esto se ha utilizado el termino para calificar al correo electrónico no solicitado, y se ha convertido en una de las mayores molestias para las personas en la red.

Generalmente, se trata de publicidad de productos, servicios o de páginas web que invaden nuestro correo con un gran número de mensajes. Actualmente, se calcula que entre el 60 y el 80% de los mensajes de correo (varios miles de millones de mensajes por día) que se envían son no solicitados, o sea, spam.

Una de los métodos para controlar esta plaga de correos consiste en el uso de la prueba de Turing. El spam es, por lo general, enviado automáticamente por una máquina. Así esta prueba puede usarse para distinguir si el correo electrónico fue enviado por un remitente humano o por una máquina, y en este segundo caso ser rechazado.

sábado, 17 de noviembre de 2007

La Proporción Aúrea.

Como se suele decir, "Una imagen vale más que mil palabras". En esta entrada podemos ver dos excelentes vídeos que nos hablan de esta cada vez más famosa proporción aúrea. El segundo de ellos es parte de la película "Donald en el país de las matemáticas", y tiene el aliciente de estar en portugués, pero para el que habla castellano es fácil de entender. Disfrútenlos:


  1. Ver primer vídeo

  2. Ver segundo vídeo

La Proporción Cordobesa

Córdoba ha sido considerada desde siempre como una de las ciudades más bellas de España, así que su visita está más que justificada, pero el contemplar sus monumentos y edificios con ojos matemáticos te puede hacer descubrir lo que los matemáticos llaman "La proporción cordobesa". Disfruten de su visita y déjense cautivar por su embrujo para siempre.

Mezquita de Córdoba

El famoso matemático griego Euclides fue el primero en estudiar la “proporción áurea” en su libro "Los Elementos". Doce siglos después, esta obra sería traducida por Ishaq Ibin Iluncin, publicada por Alhazen y estudiada en las escuelas de Córdoba. Esta ciudad fué depositaria del tesoro euclideano durante la Edad Media. En 1120, el británico Adelardo de Bath, "al más puro estilo de la fórmula 1" disfrazado de estudiante hispano-árabe, se logró introducirse en las escuelas y sacar una copia de "Los Elementos" que fue publicada en 1472. Por lo que hasta 1535 en que se descubre el texto griego, el mundo no cuenta más que con ésta traducción árabe. Así los trabajos de Leonardo da Vinci y Luca Pacioli (decisivos para el Renacimiento), se hicieron a partir del texto cordobés.

Esto da pie a pensar que sea razonable estudiar en Córdoba la existencia prerenacentista de la proporción áurea. La Diputación de Córdoba con ese objetivo en 1951, realiza un test a estudiantes de arquitectura en el que se pedía que buscaran esa proporción en los monumentos y edificios de la ciudad, pero extrañamente aparece otro tipo de relación que se repite con asiduidad. "La proporción cordobesa", llamada así al ser encontrada por primera vez en la geometría de la Mezquita de Córdoba, pero está presente también en edificios como:

  • La Torre de la Mar Muerta
  • La Sinagoga
  • Mosaicos romanos en Alcolea
  • Esculturas romanas en el Museo Arqueológico
  • Sarcófago de Adan y Eva en Huerta de la Reina


¿Pero cual es esa proporción?
Se llama "rectángulo cordobés" a un rectángulo en el que la longitud de la base dividida entre la longitud de la altura es el número irracional c = 1,306562964..... (número cordobés). Esta proporción se puede obtener como la relación entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de éste.

Dicho cociente es el número antes mencionado c = 1,306562964 ...

Detalle de cómo obtener el rectángulo cordobés a partir de la circunferencia circunscrita al octógono regular.

Más: La configuración de las pantallas de ordenador ( 800x600, 1.024x768, .....). son prácticamente rectángulo cordobeses.

miércoles, 14 de noviembre de 2007

Chistes Matemáticos II

Una vieja fórmula.
Léase despacio e intente comprenderla "2P2A + A2 y + K2 x 1/5 = KK"

Cuestión de probabilidad.
El 20 por ciento de las personas muere a causa del tabaco. Por lo tanto, el 80 por ciento de las personas muere por no fumar. Así que queda demostrado que no fumar es peor que fumar.

Un poco de historia.

¿Quién inventó las fracciones? Enrique Octavo.

Cosas de Familia.
¿Qué es un niño complejo? Un niño con la madre real y el padre imaginario

Llamemos al CSI.
¿Por qué se suicidó el libro de matemática? Porque tenía demasiados problemas.

Disparates de los alumnos en un examen:
  • En éste el alumno conoce la respuesta al segundo límite a partir del primero



  • En éste problema el alumno todavía se pregunta por qué el profesor le hace unas preguntas tan sencillas

martes, 13 de noviembre de 2007

Los Tres Problemas Clásicos.

Para el filósofo Platón los entes geométricos ideales eran la recta y la circunferencia. Y toda la geometría habría que limitarla a las construcciones con regla y compás. (¡Ojo! aclarando que la regla sólo se utiliza para trazar rectas y por tanto no es una regla metrizada). Esta era la forma correcta de resolver los problemas geométricos, y cualquier otra forma era vulgar y degradante, y no merecía ni ser contemplada.

Así que con tan corto arsenal e influidos fuertemente por Platón los griegos se dispusieron a construir la geometría con regla y compás, y la verdad es que no les fue tan mal porque hicieron una labor encomiable. Pero por suerte o por desgracia, en su camino se tropezaron con tres problemas que fueron incapaces de resolver y que fueron tomando importancia con el paso del tiempo hasta ser llamados: "Los Tres Problemas Clásicos de la antigüedad". Estos problemas son:

  • La duplicación del cubo: construir un cubo cuyo volumen sea doble que el de un cubo de lado dado.

  • La trisección del ángulo: dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales.

  • La cuadratura del círculo: dado un círculo, encontrar el lado de un cuadrado cuya área sea la misma que la del círculo inicial.

Los tres problemas tienen en común que son en apariencia sencillos, tienen un enunciado que anima a intentarlos, pero ninguno de los tres tiene solución utilizando sólamente la regla y el compás, como después siglos más tarde se demostraría.

No obstante eso no significa que no tengan solución, de hecho fueron ya los propios griegos quienes los resuelven sin limitarse a la dichosa regla y compás. Para ello utilizan técnicas y herramientas antes desconocidas que hicieron avanzar en el conocimiento matemático con por ejemplo el empleo de nuevas curvas como:

  1. La espiral de Arquímedes: es el lugar geométrico descrito por un punto que se desplaza a lo largo de una semirrecta con velocidad uniforme al tiempo que esta gira, también uniformemente. Con ella se resuelve la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
  2. La trisectriz de Hipias: curva inventada por Hipias de Ellis. Permite la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.
  3. Las cónicas: quizá el descubrimiento más importante relacionado con los tres problemas sea el que realizó Menecmo intentando conseguir la duplicación del cubo: las cónicas, curvas que resultan de cortar un cono mediante un plano y que por su importancia merecen su propia historia.

Nota: Fuera del ámbito matemático es normal escuchar a la gente hablar de la cuadratura del círculo cuando se le presenta un problema bastante difícil o imposible de resolver. De hecho también existe un libro escrito por Alvaro Pombo llamado así.

domingo, 11 de noviembre de 2007

La fiebre del Sudoku.

Los vemos por todos sitios y cada vez son más personas las que se sienten atraídas por este juego que pone tu capacidad intelectual a prueba. Conozcamos más de los sudokus.


Este pasatiempo se popularizó en Japón en 1986 (En japonés, sū es número y doku es sólo), aunque su origen está en Estados Unidos, más concretamente en Nueva York dónde en 1979 la empresa Dell Magazines publicaría este juego, ideado por Howard Garns, bajo el nombre de Number Place (el lugar de los números). No obstante, el boom internacional de los sudokus no llegaría hasta el 2005.


Mucha gente piensa que el Sudoku se creó a partir de los trabajos del como no, Leonhard Euler, el famoso matemático suizo del siglo XVIII. Él no creó el juego en sí, sino que utilizó el sistema llamado del cuadrado latino para realizar cálculos de probabilidades, que sería la base de los actuales sudokus.

Actualmente, existen variantes del sudoku clásico tan apasionantes como éste o más, tales como "Samurai sudoku", "Isis sudoku"," Win sudoku", "Diagonal sudoku", "Super sudoku", "Juuni sudoku", "Hachi sudoku", "Roku sudoku", "Sudoku Kids".

Reglas Básicas del Juego
El objetivo es rellenar una cuadrícula de 9×9 celdas (81 casillas) dividida en subcuadrículas de 3×3 (también llamadas "cajas" o "regiones") con las cifras del 1 al 9 partiendo de algunos números ya dispuestos en algunas de las celdas. (Aunque se podrían usar colores, letras, figuras... dado que lo verdaderamente importante es que sean nueve elementos diferenciados, sólo se usan números porque son más fáciles de memorizar). La regla principal que hay que cumplir es que no se debe repetir ninguna cifra en una misma fila, columna o subcuadrícula. Un sudoku está bien planteado si la solución es única y su resolución requiere lápiz, papel y paciencia.

sábado, 10 de noviembre de 2007

La apasionante vida de Paul Erdős.

Paul Erdős (1913-1996) reunía todos los clichés del sabio distraído y del genio desorganizado. "Dicen de él que usaba calcetines con sandalias y que al viajar sólo llevaba una maleta semivacía, que arrastraba por el mundo de congreso en congreso". Su pasión matemáticas fue la Teoría de Números, y en especial los números primos, si bien trabajó en otras ramas de las Matemáticas como la Combinatoria, la Teoría de Grafos, ...



Paul Erdős en una de sus conferencias

Erdős comenzó su fama como niño prodigio a la edad de 4 años dónde ya podía multiplicar números de tres o cuatro cifras sólo de cabeza. A los 18 causó sensación en el mundillo matemático húngaro al presentar una demostración sencilla del teorema de Euclides*.
Ya de adulto, dicen los que le conocieron que sólo pensaba en matemáticas, aunque estuviera realizando otra actividad. Escribió 1475 artículos académicos (la mayoría de ellos buenísimos) sólo o en colaboración (tuvo un total de 485 colaboradores). Después de Leonhard Euler, es el matemático más prolífico de la historia.
Las posesiones materiales no tuvieron importancia para Erdős; premios y otras ganancias las donaba a personas necesitadas o las tomaba como premios para problemas que él mismo proponía. Pasó la mayor parte de su vida como un vagabundo, viajando entre conferencias científicas y casas de colegas matemáticos alrededor del mundo, "La propiedad perjudica" ,decía. Sus colegas se encargaban de él y de todas sus necesidades (le buscaban alojamiento, le compraban ropa,...). Normalmente llegaba a la puerta de la casa donde era invitado y decía: "mi cerebro esta abierto", permaneciendo lo suficiente para elaborar algún(os) artículo(s) antes de volver a viajar.

En honor a él, los matemáticos y amigos inventaron el llamado número de Erdős. Él tiene el número de Erdős igual a 0, sus 485 colaboradores tienen el 1, alguien que haya colaborado con alguno de sus colaboradores tiene el 2, y así sucesivamente.... Sencillas estimaciones comprueban que el 90% de los matemáticos activos tienen un número de Erdős menor que 8, de hecho Gates tiene un número de Erdös igual a 4, Andrew Willes, el que consiguió demostrar el último teorema de Fermat lo tiene igual a 3 y Einstein lo tenía igual a 2, curioso verdad.

Para terminar, les recomiendo este libro basado en la figura de este peculiar matemático.




*El teorema de Euclides dice que entre cualquier número entero y su doble siempre se puede encontrar un número primo.

jueves, 8 de noviembre de 2007

El Teorema de los Cuatro Colores


Quizás alguna vez ha caído en nuestras manos un mapa o algún otro dibujo que hemos tenido que colorear, y hemos empezado a darle color tan felices sin preocuparnos del número de colores que usábamos ni de ninguna otra cosa rara.
Pero a los matemáticos les gustan los problemas y las dificultades, y la historia de este teorema comienza cuando a alguien se le pasa por la cabeza preguntarse si existe un mínimo número de colores que basten para colorear la figura sin que dos zonas o países con frontera común tengan el mismo color.

Por ejemplo, este mapa estaría bien coloreado

El primero en preguntarse esto fue Francis Guthrie, un estudiante de la University College de Londres, quién lo da a conocer, en el año 1853. Luego el problema pasará al famoso Augusto de Morgan (profesor de Francis), quién haría la conjetura de que con cuatro colores es suficiente para colorear el mapa cumpliendo la condición anterior (que dos regiones vecinas con frontera común y que sólamente se tocan en un punto no queden coloreadas del mismo color).
En matemáticas una conjetura es una afirmación que todavía no está probada.

Así el problema de colorear el mapa desemboca en probar si esta conjetura es cierta o no, Esto será estudiado por matemáticos tan ilustres como Hamilton y Cayley, sin que llegaran a ninguna solución. Luego en 1879, el número del 17 de julio de la revista Nature anunciaba que el problema de los cuatro colores había sido resuelto por el abogado inglés Alfred Bray Kempe, pero luego se hallaron fallos en la demostración.
Y así fue pasando y pasando el tiempo sin que nadie encontrara solución a éste en principio inocente problema, lo que fue dando a la conjetura de los cuatro colores cada vez más relevancia dentro del mundillo matemático.
“La solución” vendría gracias a los ordenadores. Así en 1976, la conjetura tuvo finalmente solución y pasó a ser, nuevamente, el Teorema de los Cuatro Colores. La demostración fue hecha por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, quien gracias a los ordenadores lograron probar el resultado usando más de 1200 horas para conseguir la demostración.
Naturalmente, la demostración trajo gran desazón en el mundo de la matemática, no porque se esperara que el resultado fuera falso (en realidad, todo lo contrario) sino porque era el primer caso en donde la máquina (en algún sentido) estaba superando al hombre. ¿Cómo no poder encontrar una demostración mejor? ¿Cómo no poder encontrar una demostración que no dependiera de un agente externo?. Además los matemáticos estrictamente rigurosos nunca aceptan cómo válidas este tipo de demostraciones.
Pero también debe tenerse en cuenta que los cálculos más optimistas establecen que para poder comprobar lo que hicieron Appel y Haken “a mano”, por una persona que le dedicara 60 horas por semana, necesitaría ¡cien mil años! para cumplir con la misma tarea.

miércoles, 7 de noviembre de 2007

Ajedrez y Cine I

La Defensa Luzhin
Esta hermosa película basada en la novela de Vladimir Nabokov "La defensa", cuenta la vida de un ajedrecista que se mueve como pez en el agua en las 64 casillas del tablero pero que se muestra como una persona indefensa y desprotegida cuando sale fuera de él, lo que conllevará dramáticas adversidades.
Sipnosis
Alexander Luzhin es un gran maestro de ajedrez que viaja a Italia para jugar la partida de su vida. Pero, lo que acabará encontrando allí es a Natalia, quién se convertirá en el amor de su vida.
Ella logrará atraer su atención hacia un mundo exterior muy distinto del que se encierra en un tablero de ajedrez lo que traerá a Luzhin trágicas consecuencias.
Reparto
John Turturro, Emily Watson, Geraldine James, Stuart Wilson, Christopher Thompson
Director
Marleen Gorris
Año
2000

martes, 6 de noviembre de 2007

Ceres. La solución al futuro.


Ceres fue descubierto en 1801 (antes que Neptuno y Plutón) por Giuseppe Piazzi (1746-1826), sacerdote católico y educador, mientras trabajaba en la compilación de un catálogo estelar, y durante décadas fue considerado como uno más de los planetas.
Posteriormente se le consideró como el principal objeto del espacio comprendido entre Marte y Júpiter llamado el cinturón de asteroides. (Los asteroides son cuerpos rocosos que vagan alrededor de los planetas y Ceres comprende casi un tercio de la masa total estimada del cinturón). Desde hace siglo y medio no había aparecido ni en los textos escolares por lo que pasó a ser un cierto desconocido para el público en general, hasta que en el último congreso trianual (Praga 14-25 de Agosto), los más importantes astrónomos del mundo realizaron una nueva concepción del sistema solar, en la que Plutón dejaba de estar en el club de los ‘planetas clásicos’. Este hecho tenía como consecuencia la revalorización de Ceres, a quien se le subía de categoría. Este ya no se tomaba como el asteroide más grande que hay, sino parte de la nueva categoría de ‘planetas enanos’ junto a Plutón y al otro mundo congelado de Xena.

Se han lanzado misiones para explorar o fotografiar los 8 planetas pero nunca ninguno a Ceres, pese a que este se encuentra en el medio de éstos. Hoy se cree que Ceres no es una simple roca (como el resto de asteroides) sino una gran esfera con su núcleo sólido, manto y corteza. Es más, éste podría ser el ‘planeta’ con más agua dulce en nuestro sistema solar. Ceres tendría su interior 5 veces más agua dulce (aunque congelada) que la Tierra.
Las preguntas que nos prodríamos hacer es: ¿Podría Ceres ofrecer mejores condiciones para ser colonizado que la luna o Marte?.

domingo, 4 de noviembre de 2007

Porcentajes

Descuento de un 50% en unos grandes almacenes

El cálculo de porcentajes es una operación matemática que aparece en nuestra vida cotidiana de forma muy frecuente. Los porcentajes son un ejemplo de la regla de tres directamente proporcional, por lo que se pueden calcular utilizándo esta "famosa" regla, no obstante podemos obtener el porcentaje de forma más rápida, usando la calculadora. Veamos algunos ejemplos:

Cálculo del % de una cantidad: ¿cuánto es el 20% de 200?
Podemos hacer 0'20 · 200 = 40 (0'20 es 20 entre 100)

Cálculo del % que representa una cantidad menor frente al total: En una clase de 33 alumnos, 25 de ellos tienen ordenador en casa. ¿Qué % representa?
Se calcula con la siguiente regla: (CantidadMenor/CantidadTotal) · 100. Para este caso: (25/30) · 100 = 83'3%

Cálculo de un aumento porcentual: Aquí tenemos que darnos cuenta antes de empezar el problema si te piden la cantidad antes del aumento o después del aumento, o el % de aumento.
  1. Precio Antes del Aumento: Veamos el siguiente ejemplo: Si el total de una factura asciende a 2950€ después de haber aplicado el IVA en la compra de un artículo, ¿De cuánto dinero se hablaba en la factura antes de aplicar el IVA? El IVA es del 16%, esto es 0'16, como estamos en un aumento debemos hacer 1 + 0'16 = 1'16. Y como te piden el precio antes del aumento dividimos la cantidad dada en el problema por 1'16, esto es, 2950/1'16 = 2543'10 €.
  2. Precio Después del Aumento: El precio de una lavadora sin incluir el IVA es de 650 €, ¿Cuánto nos costará si nos aplican el 16% del IVA? Igual que antes, 1 + 0'16 = 1'16 (Estamos en un aumento). Pero en este caso nos piden el precio después del aumento por lo que hacemos 1'16 · 650 = 754€.
  3. Cálculo del % en un Aumento: Un artículo pasa de tener un precio de 150 € a 200 €. ¿Qué porcentaje ha aumentado? La respuesta es ((CantidadFinal/CantidadInicial) - 1) · 100 , en este ejemplo ((200/150) - 1) = (1'33 - 1) = 0'333, que multiplicado por 100 nos da 33'3%

Cálculo de una disminución porcentual o descuento: Igual que antes, tenemos que darnos cuenta antes de empezar el problema de lo que te piden: la cantidad antes del descuento o después del descuento, o el % de descuento.
  1. Precio Antes del Descuento: Veamos el siguiente ejemplo: El precio de un coche después de un descuento del 12% es de 9000€, ¿Cuánto el precio del coche antes de hacer el descuento? El descuento es del 12%, esto es 0'12, como estamos en un descuento debemos hacer 1 - 0'12 = 0'88. Y como te piden el precio antes del descuento dividimos la cantidad dada en el problema por 0'88, esto es, 9000/0'88 = 10227'27 €.
  2. Precio Después del Descuento: El precio de unos zapatos esta semana es de 38 €, pero la semana que viene están rebajados en un 8%, ¿Cuánto nos costarán si esperamos a la semana que viene para comprarlos? Igual que antes, 1 - 0'08 = 0'92 (Estamos en un descuento). Pero en este caso nos piden el precio después del descuento por lo que hacemos 0'92 · 38 = 34'96 €.
  3. Cálculo del % en un Descuento: Un artículo pasa de tener un precio de 300 € a 260 €. ¿Qué porcentaje ha disminuido? La respuesta es (1 - (CantidadFinal/CantidadInicial)) · 100 , (sólo varía la posición del 1 en la resta con el apartado anterior). En este ejemplo (1 - (260/300)) = (1 - 0'866) = 0'133, que multiplicado por 100 nos da 13'3%

sábado, 3 de noviembre de 2007

La Multiplicación Rusa

Este método, cuyo origen se pierde en la noche de los tiempos y que llegó de Oriente a través de Rusia, nos ofrece un modo distinto y curioso de calcular el producto de dos números. La ventaja de esta forma de multiplicar es que sólamente es necesario conocer la "tabla de dos". El método tiene dos casos según que el segundo factor sea par o impar (no olvidemos que el producto de números tiene la propiedad conmutativa "el orden de los factores no altera el producto").

Primer caso, el segundo factor es par : Veamos el ejemplo de 513 x 32, (32 es par) el método consiste en colocar los números a multiplicar en dos columnas, debajo del primer número siempre vamos haciendo el doble y debajo del segundo número siempre escribimos la mitad. El proceso termina cuando en la columna de la derecha aparece un uno, entonces el resultado de la multiplicación de los números dados es el número que aparece en la columna de la izquierda junto al uno. En este caso 513 x 32 = 16416

Segundo caso, el segundo factor es un número impar: Veamos el ejemplo de 65 x 21, (21 es impar), en este caso se trabaja de la siguiente manera, se resta uno a este número y se coloca entre paréntesis, haciendo ahora la mitad del resultado (en el ejemplo 21 -1 = 20, y su mitad es 10). Y así sucesivamente siempre que aparezca un número impar. El resultado de la multiplicación se obtiene en este caso sumando el número final a la izquierda de la columna dónde conseguimos el 1 junto con las cantidades omitidas, que en este caso han sido (1 vez 65, 1 vez 260). Por tanto conseguimos 1.040 + 65 + 260 = 1.365 , y este número es el resultado de la multiplicación.


Fuente: El secreto de los números (André Joutte)

viernes, 2 de noviembre de 2007

Ajedrez, Tenis y Progresiones Geométricas.

Se llama sucesión de números reales a una secuencia ordenada de números, por ejemplo, 1,3,5,7...
Algunas de estas sucesiones (como las progresiones geométricas) son bastante importantes porque aparecen en nuestra vida cotidiana más frecuentemente de lo que pensamos. Aquí vamos a ver dos situaciones dónde intervienen las progresiones geométricas, pero éstas también lo hacen en cuestiones bancarias que tanto nos preocupan como amortizaciones de capitales, cálculo de intereses,...


Se dice que el ajedrez fue inventado en la India. La leyenda es tan falsa como conocida, pero no por ello pierde su encanto y su halo de misterio. La leyenda dice más o menos así:
"Un marajá, agobiado por una desgracia insoportable, recibe como regalo un juego novedoso para que distraiga sus días y alivie su dolor. Tanto lo entusiasma y hace que olvide sus desgracias que decide premiar a su inventor. Éste se presenta ante él, inclina la cabeza y hace un pedido "modesto" ante la exigencia del marajá de que pida cualquier cosa porque le será satisfecha: Por la primera casilla me gustaría recibir, un grano de trigo. Por la segunda, dos granos. Por la tercera, cuatro. Por la cuarta, ocho. Por la quinta, dieciséis. En cada casilla el doble de granos que en la anterior, y así hasta la casilla 64.
El rey se ofende por un pedido tan miserable y ordena a sus sirvientes que complazcan al inventor y lo acompañen hasta la salida. Poco después se acerca al trono el ministro de finanzas. Con voz temblorosa, y le dice al marajá que el inventor del ajedrez está pidiendo 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo, más de lo que hay en todo el reino, en toda la India, y en todo el universo. Al final el marajá le ofrece la mano de su hija, o lo nombra general, o le corta la cabeza, no se sabe muy bien."

Que cada número sea el doble que el anterior equivale a multiplicarlo por 2. Así para la primera casilla pide un solo grano, para la segunda pide 1×2 granos, para la tercera 1×2×2 granos y para la cuarta casilla pide 1×2×2×2 granos. Estos números son conocidos como potencias de dos y forman una secuencia de números llamada progresión geométrica de razón = 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,256, 512, ... ). Esta progresión se caracteriza porque aunque al principio el crecimiento parece lento, luego tiende a crecer descomunalmente rápido, (como desgraciadamente comprobó el marajá).

Las potencias de 2 también aparecen en los torneos de tenis. En muchos torneos se realizan cuadros de enfrentamiento con la siguiente dinámica: En la final se enfrentan dos jugadores; en la semifinal hay cuatro; en los cuartos de final hay ocho jugadores. Así, en cada ronda adicional la cantidad de jugadores se duplica, tal como ocurría con los granos de trigo en el tablero de ajedrez. Si el torneo tuviera 25 rondas podrían participar casi todos los habitantes de España y son suficientes 33 rondas para que participen todos los habitantes del planeta.

jueves, 1 de noviembre de 2007

Los puentes de Königsberg

¿Puedes realizar estos dibujos sin levantar el lápiz del papel y sin repetir ninguna línea?. Si alguna vez alguien te ha planteado esta pregunta, tu respuesta seguramente ha sido empezar a hacer líneas y líneas hasta que has llegado a alguna conclusión sobre si se puede o no.

Sin embargo, la solución a este tipo de problemas no requiere un trabajo laborioso de dibujos y dibujos, sino el pararte un momento a contar un número que caracteriza a estas representaciones. Esto se debe a que un fantástico matemático consiguió generalizar estos problemas a partir de un curiosa situación llamada "el problema de los puentes de Königsberg".


El Río Pregel y los siete puentes que lo cruzaban en verde

Königsberg era una pequeña ciudad de la Prusia oriental a orillas del báltico, a 50 kilómetros de Polonia, hoy convertida en la ciudad rusa de Kaliningrado. Los siete puentes, que fueron destruidos durante la Segunda Guerra Mundial, conectaban la ciudad con las dos grandes Islas del rio Pregel y dieron lugar en principio a la distracción habitual de los domingos entre sus habitantes y posteriormente a un problema que ocuparía el interés de los matemáticos, y que se convertiría en uno de los problemas clásicos de la geometría: ¿es posible cruzar todos los puentes sin repetir ninguno? .
La solución al problema (en este caso la imposibilidad de solución), la dio el genial matemático suizo Euler en 1736, en un artículo en el que resolvía el problema en el caso general. Este trabajo se considera como el nacimiento de la Teoría de Graficos, utilizada hoy en día en una multiplicidad de aplicaciones (Economía, Informática, ...) y también como el nacimiento de "una nueva geometría" en la que sólo importan las propiedades estructurales de un objeto y no sus medidas, y que pasaría a llamarse "Topología". (Interesante lo que dio de si el problemita).

Grafo de la situación del problema de los puentes de Konisgberg

Para obtener la solución al problema, Euler cambió los puentes por líneas (arcos), y las áreas terrestres por puntos (vértices). Este gráfico de la situación es lo que se llama grafo. Llamando «grado» de cada vértice al número de aristas que convergen en él, para que el problema tenga solución es necesario que en el grafo haya como mucho dos vértices de valencia impar (del que se sale y al que se llega). Y en el caso del grafo de Königsberg los cuatro vértices tienen grado impar, así que el problema no tiene solución.

Nota: En los problemas del principio, si calculamos el grado de los vértices llegamos a que el primero tiene solución pero el segundo no.